glossaire-isup

vendredi 3 décembre 2010

dimanche 13 juillet 2008

Loi du chi carré à n degrés de liberté

Si les $X_i$ sont $n$ variables indépendantes de loi normale centrée réduite, et si $Y = \sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2 }$ , alors on dit que $Y$ suit la loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté. Elle a pour densité :
$f(x) = \frac{{e^{ - x/2} x^{n/2 - 1} }}{{2^{n/2} \Gamma (n/2)}}1_{\{ x \geqslant 0\} }$

jeudi 3 juillet 2008

Erreur quadratique moyenne

Si $\widehat\theta$ est un estimateur de $\theta$ , son erreur quadratique moyenne (en anglais : mean square error) est le carré de leur distance dans $\mathbb{L}^2$ :
$EQM=\mathbb{E}_\theta \left( {\theta - \widehat\theta } \right)^2 = Var\left( {\widehat\theta } \right)+biais^2$

Formule de Bayes

Si $\{A_j\}_{j \in I}$ est une partition de l'ensemble des possibles,
$\forall i_0 \in I, P(A_{i_0} |B) =\frac{{P(B|A_{i_0})P(A_{i_0} )}}{{\sum\limits_{j \in I} {P(B|A_j )P(A_j )} }}$
Ce résultat s'interprète comme l'évaluation de la probabilité d'une cause sachant la conséquence. Ce principe est par exemple utilisé pour filtrer les emails indésirables (filtre bayesien).

dimanche 15 juin 2008

interface latex

Salut à tous!

Et oui nous avons réussi à penser une interface latex, donc, pour les auteurs intéressés (qui ont les droits pour écrire sur ce blog*) voilà comment faire:

Vous entrez votre code latex entre ces balises dans "modifier le code html" au moment d'écrire votre définition:
<
img src="http://www.codecogs.com/eq.latex? (code latex)"/>

Exemple pour le mot variance:

<
img src="http://www.codecogs.com/eq.latex?

\paragraph{}
La variance d'une variable al\'eatoir $X$ est le r\'eel positif not\'e $Var(X)$ et d\'efini par: $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$.

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Merci et continuez!!

* pour les autres contactez moi: abdelhfid@hotmail.fr

Variance

$\paragraph{} La variance d'une variable al\'eatoire $X$ est le r\'eel positif not\'e $Var(X)$ et d\'efini par: $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Notions de probabilités

$\paragraph{} \emph{Probabilit\'e sur $\Omega$}:\\ Application de $\mathcal{T}$ sur $[0,1]$ telle que: $P(\Omega)=1$ et \\ $\forall A, B \in \mathcal{T} \quad A \cap B \Rightarrow P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.\\\\ \emph{Probabilit\'e conditionnelle}:\\ soient $A$ et $B$ deux \'evenements d'une m\^eme exp\'erience al\'eatoire tels que: $P(A) \neq 0$, la probabilit\'e que l'\'evenement $B$ se r\'ealise sachant que l'\'evenement $A$ est r\'ealis\'e est not\'e $P_{A}(B)$ et d\'efini par: \\ $P_{A}(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.\\\\ \emph{Probabilit\'e \'equir\'epartie}:\\ lorsque la probabilit\'e d'un singleton vaut $\frac{1}{card(\Omega)}$ (avec $\Omega$ est fini).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Point moyen

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} C'est le point de coordonn\'ees $(x_{0},y_{0})$ tel que $x_{0}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_{i}$ et $y_{0}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n y_{i}$ (o\`u $(x,y)$ est une s\'erie statistique \`a deux variables non constantes).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Nuage de points

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} Dans le plan muni d'un rep\`ere orthogonal, \`a chaque couple $(x_{i},y_{i})$ on associe le point $M_{i}(x_{i},y_{i})$; l'ensemble de ces points forment le nuage de points des variables al\'atoires $X$ et $Y$.$

Ilhem Naggoudi El-Attar

Méthode des moindres carrés

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} Cette m\'ethode consiste \`a rechercher les coefftients d'une droite d'ajustement $a$ et $b$ tels que la somme des r\'esidus au carr\'es soit minimale. Elle l'est pour: $a=\frac{cov(x,y)}{\sigma^{2}(x)}$ et telle que la droite passe par le point moyen*, cette droite est appelée droite de r\'egression ( o\`u $(x,y)$ est une s\'erie statistique \`a deux variables non constantes).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Loi Binomiale

$\paragraph{}Soit un sch\'ema de Bernouilli, $X$ variable al\'eatoire sur $\omega$ comptant le nombre de succ\`es, on d\'efinit un nouvelle variable Y al\'eatoire sur $\Omega ^{n}$ et on dit que cette nouvelle variable al\'eatoire suit une loi binomiale lorsque: \\ \begin{itemize} \item $Y(\Omega ^{n})=\{1, \ldots, n\}$ \item $\forall k \in \{1, \ldots, n\} P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{k}$ \end{itemize}$

Ilhem Naggoudi El-Attar

Indépendance d'événements

$\paragraph{Evenements ind\'ependants:} les \'evenements $A$ et $B$ sont ind\'ependants lorsque $P(A \cap B)=P(A)P(B)$. \paragraph{Evenements mutuellement ind\'ependants}: les \'evenements $(A_{i})_{1 \leq i \leq n}$ sont mutuellement ind\'ependants lorsque $\forall J \subset \{1 \ldots n \} \quad P(\bigcap_{j \in J}A_{j})=\Pi_{j \in J}P(A_{j})$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Espace probabilisé

$\paragraph{} Un espace probabilis\'e est compos\'e d'un triplet $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ o\`u $\mathcal{T}$ est une tribu et $P$ une probabilit\'e.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Epreuve de Bernouilli

$\paragraph{} exp\'erience al\'eatoire* ayant deux issues possibles, l'une assimil\'ee au succ\`es de probabilit\'e $p$ et l'autre \`a l'\'echec de probabilit\'e $1-p$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Arrangements

$\paragraph{} Nombre de $k$-uplets (en tenant compte de l'ordre) dans un ensemble \`a $n$ \'el\'ements: \[ A_n^k = \frac{{n!}} {{(n - k)!}} \]$
Pierre-Michel Danton

Combinaisons

$\paragraph{} Nombre de parties à $k$ \'el\'ements dans un ensemble à $n$ \'el\'ements: \[ C_n^k = \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right) = \frac{{n!}} {{k!\left( {n - k} \right)!}} \] Exemple : le nombre de tirages possibles au loto est $C_{49}^6=13\:983\:816$ (l'ordre de sortie ne compte pas)$
Pierre-Michel Danton

Inégalité de Markov

$\paragraph{} Si $X$ est une variable al\'eatoire d'esp\'erance finie $\mu$ alors : \[ \forall \epsilon > 0\:,\:\mathbb{P}\left( {\left| {X} \right| > \epsilon} \right) \leq \frac{{\mathbb{E} (\left| X \right| )}}<br>{{\epsilon }}\]\textnormal{C'est une cons\'equence de l'in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebychev.}$
Pierre-Michel Danton

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

$\paragraph{} Si $X$ est une variable al\'eatoire d'esp\'erance finie $\mu$ alors : \[ \forall \epsilon > 0\:,\:\mathbb{P}\left( {\left| {X - \mu } \right| > \epsilon} \right) \leq \frac{{\textrm{var} (X)}}<br>{{\epsilon^2 }}\]$
Pierre-Michel Danton

Méthode Delta

$\paragraph{} Soit $X_n$ une suite de variables al\'eatoires. On suppose qu'il existe une constante $c$ et une suite $\alpha_n \to + \infty$ telle que : \[ \alpha _n (X_n - c) \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} X \] Alors si $g$ est une application d\'erivable en $c$ on a: \[ \alpha _n (g(X_n) - g(c)) \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} g'(c)X \]$

Pierre-Michel Danton

Transformée de Laplace

$\paragraph{} Si $f$ est une fonction on d\'efinit sa transform\'ee de Laplace comme \'etant la fonction: \[ L\{ f\} :x \mapsto L\{ f\} (x) = \int_0^{ + \infty } {f(t)\exp ( - tx)\:dt} \] \`a ne pas confondre avec la transform\'ee de Fourier.$
Pierre-Michel Danton

Théorème Central Limite

$\paragraph{} Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables ind\'ependantes indentiquement distribu\'ees d'esp\'erance $\mu$ finie et d'\'ecart-type $\sigma$ fini non nul, alors en notant $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i}$ on a: \[ \sqrt n \frac{{\bar X - \mu }} {\sigma }\mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} \mathcal{N}(0,1) \]$
Pierre-Michel Danton

Famille Exponentielle

$\paragraph{} Toutes les familles de lois dont la densit\'e peut s'\'ecrire sous la forme: \[ f_\theta (x) = \exp \left[ {c(\theta ) \cdot T(x) + d(\theta ) + S(x)} \right]\mathbb{I}_{x \in A} \] o\`u l'ensemble $A$ est ind\'ependant de $\theta$ sont dites de famille exponentielle.\\ On d\'emontre que $T$ est une statistique exhaustive du mod\`ele.$

Pierre-Michel Danton

Loi faible des grands nombres

$\paragraph{}Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables al\'eatoires ind\'ependantes indentiquement distribu\'ees et int\'egrables, alors pour $n$ tendant vers $+\infty$ on a \[ \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i } \rightarrow \mathbb{E}(X_1 )\;\;p.s. \]$

Covariance

$\paragraph{} Pour $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires, sous r\'eserve d'existence :\[ \textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))] \]$

Convergence en loi

$\paragraph{Convergence en loi:} Une suite de variables al\'eatoires $X_n$ converge en loi vers $X$ si pour toute fonction $f$ continue et born\'ee on a $\mathbb{E}[f(X_n)]\to\mathbb{E}(f(X)]$. On note souvent $X_n \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} X $. Une d\'efinition \'equivalente est $\phi_{X_n}\to\phi_X$, o\`u $\phi$ d\'esigne la fonction caract\'eristique (th\'eor\`eme de L\'evy).$

Convergence en probabilité

$\textnormal{Une suite de variables al\'eatoires $X_n$ converge en probabilit\'e vers $X$ }\\ si:\\ $$\forall \epsilon > 0\;,\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathbb{P}\left( {\left| {X_n - X} \right| > \epsilon } \right) = 0 $$$

Convergence presque sûre

$\paragraph{Convergence presque-s\^ure:} Une suite de variables al\'atoires $X_n$ d\'efinies sur un espace probabilis\'e $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ converge presque s\^urement vers $X$ si: \[ \mathbb{P}\left( {\left\{ {\omega \in \Omega |\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } X_n (\omega ) = X(\omega )} \right\}} \right) = 1 \]$

Moment d'une variable aléatoire

$\textnormal{ Soit $X$ une variable al\'eatoire. On appelle \textit{moments d'ordre k} de $X$, }$E\left[X^k\right]$ les expressions d\'efinies (si elles existent) par:\\\\ \textit{1. Cas discret}: $$E\left[X^k\right]=\sum_{i}{i^k P(X=i)}.$$\\ \textit{2. Cas continu}: $$E\left[X^k\right]=\int_{- \infty}^{ + \infty } { x^k \:dF_{X}(x)}=\int_{- \infty}^{ + \infty } { x^k f_{X}(x)\:dx}.$$\\ \textit{3. Esp\'erence math\'ematique}:\\ Si $E\left[|X|\right] < \infty $, on dit que la variable $X$ est int\'egrable et son moment d'ordre 1 est appel\'e l'\textbf{esp\'erance math\'ematique de $X$}.\\\\$