glossaire-isup: juin 2008

dimanche 15 juin 2008

interface latex

Salut à tous!

Et oui nous avons réussi à penser une interface latex, donc, pour les auteurs intéressés (qui ont les droits pour écrire sur ce blog*) voilà comment faire:

Vous entrez votre code latex entre ces balises dans "modifier le code html" au moment d'écrire votre définition:
<
img src="http://www.codecogs.com/eq.latex? (code latex)"/>

Exemple pour le mot variance:

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img src="http://www.codecogs.com/eq.latex?

\paragraph{}
La variance d'une variable al\'eatoir $X$ est le r\'eel positif not\'e $Var(X)$ et d\'efini par: $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$.

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Merci et continuez!!

* pour les autres contactez moi: abdelhfid@hotmail.fr

Variance

$\paragraph{} La variance d'une variable al\'eatoire $X$ est le r\'eel positif not\'e $Var(X)$ et d\'efini par: $Var(X)=E((X-E(X))^{2})$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Notions de probabilités

$\paragraph{} \emph{Probabilit\'e sur $\Omega$}:\\ Application de $\mathcal{T}$ sur $[0,1]$ telle que: $P(\Omega)=1$ et \\ $\forall A, B \in \mathcal{T} \quad A \cap B \Rightarrow P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.\\\\ \emph{Probabilit\'e conditionnelle}:\\ soient $A$ et $B$ deux \'evenements d'une m\^eme exp\'erience al\'eatoire tels que: $P(A) \neq 0$, la probabilit\'e que l'\'evenement $B$ se r\'ealise sachant que l'\'evenement $A$ est r\'ealis\'e est not\'e $P_{A}(B)$ et d\'efini par: \\ $P_{A}(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.\\\\ \emph{Probabilit\'e \'equir\'epartie}:\\ lorsque la probabilit\'e d'un singleton vaut $\frac{1}{card(\Omega)}$ (avec $\Omega$ est fini).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Point moyen

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} C'est le point de coordonn\'ees $(x_{0},y_{0})$ tel que $x_{0}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_{i}$ et $y_{0}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n y_{i}$ (o\`u $(x,y)$ est une s\'erie statistique \`a deux variables non constantes).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Nuage de points

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} Dans le plan muni d'un rep\`ere orthogonal, \`a chaque couple $(x_{i},y_{i})$ on associe le point $M_{i}(x_{i},y_{i})$; l'ensemble de ces points forment le nuage de points des variables al\'atoires $X$ et $Y$.$

Ilhem Naggoudi El-Attar

Méthode des moindres carrés

$\paragraph{G\'en\'eralit\'es en dimension 2} Cette m\'ethode consiste \`a rechercher les coefftients d'une droite d'ajustement $a$ et $b$ tels que la somme des r\'esidus au carr\'es soit minimale. Elle l'est pour: $a=\frac{cov(x,y)}{\sigma^{2}(x)}$ et telle que la droite passe par le point moyen*, cette droite est appelée droite de r\'egression ( o\`u $(x,y)$ est une s\'erie statistique \`a deux variables non constantes).$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Loi Binomiale

$\paragraph{}Soit un sch\'ema de Bernouilli, $X$ variable al\'eatoire sur $\omega$ comptant le nombre de succ\`es, on d\'efinit un nouvelle variable Y al\'eatoire sur $\Omega ^{n}$ et on dit que cette nouvelle variable al\'eatoire suit une loi binomiale lorsque: \\ \begin{itemize} \item $Y(\Omega ^{n})=\{1, \ldots, n\}$ \item $\forall k \in \{1, \ldots, n\} P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{k}$ \end{itemize}$

Ilhem Naggoudi El-Attar

Indépendance d'événements

$\paragraph{Evenements ind\'ependants:} les \'evenements $A$ et $B$ sont ind\'ependants lorsque $P(A \cap B)=P(A)P(B)$. \paragraph{Evenements mutuellement ind\'ependants}: les \'evenements $(A_{i})_{1 \leq i \leq n}$ sont mutuellement ind\'ependants lorsque $\forall J \subset \{1 \ldots n \} \quad P(\bigcap_{j \in J}A_{j})=\Pi_{j \in J}P(A_{j})$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Espace probabilisé

$\paragraph{} Un espace probabilis\'e est compos\'e d'un triplet $(\Omega, \mathcal{T}, P)$ o\`u $\mathcal{T}$ est une tribu et $P$ une probabilit\'e.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Epreuve de Bernouilli

$\paragraph{} exp\'erience al\'eatoire* ayant deux issues possibles, l'une assimil\'ee au succ\`es de probabilit\'e $p$ et l'autre \`a l'\'echec de probabilit\'e $1-p$.$
Ilhem Naggoudi El-Attar

Arrangements

$\paragraph{} Nombre de $k$-uplets (en tenant compte de l'ordre) dans un ensemble \`a $n$ \'el\'ements: \[ A_n^k = \frac{{n!}} {{(n - k)!}} \]$
Pierre-Michel Danton

Combinaisons

$\paragraph{} Nombre de parties à $k$ \'el\'ements dans un ensemble à $n$ \'el\'ements: \[ C_n^k = \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right) = \frac{{n!}} {{k!\left( {n - k} \right)!}} \] Exemple : le nombre de tirages possibles au loto est $C_{49}^6=13\:983\:816$ (l'ordre de sortie ne compte pas)$
Pierre-Michel Danton

Inégalité de Markov

$\paragraph{} Si $X$ est une variable al\'eatoire d'esp\'erance finie $\mu$ alors : \[ \forall \epsilon > 0\:,\:\mathbb{P}\left( {\left| {X} \right| > \epsilon} \right) \leq \frac{{\mathbb{E} (\left| X \right| )}}<br>{{\epsilon }}\]\textnormal{C'est une cons\'equence de l'in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebychev.}$
Pierre-Michel Danton

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

$\paragraph{} Si $X$ est une variable al\'eatoire d'esp\'erance finie $\mu$ alors : \[ \forall \epsilon > 0\:,\:\mathbb{P}\left( {\left| {X - \mu } \right| > \epsilon} \right) \leq \frac{{\textrm{var} (X)}}<br>{{\epsilon^2 }}\]$
Pierre-Michel Danton

Méthode Delta

$\paragraph{} Soit $X_n$ une suite de variables al\'eatoires. On suppose qu'il existe une constante $c$ et une suite $\alpha_n \to + \infty$ telle que : \[ \alpha _n (X_n - c) \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} X \] Alors si $g$ est une application d\'erivable en $c$ on a: \[ \alpha _n (g(X_n) - g(c)) \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} g'(c)X \]$

Pierre-Michel Danton

Transformée de Laplace

$\paragraph{} Si $f$ est une fonction on d\'efinit sa transform\'ee de Laplace comme \'etant la fonction: \[ L\{ f\} :x \mapsto L\{ f\} (x) = \int_0^{ + \infty } {f(t)\exp ( - tx)\:dt} \] \`a ne pas confondre avec la transform\'ee de Fourier.$
Pierre-Michel Danton

Théorème Central Limite

$\paragraph{} Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables ind\'ependantes indentiquement distribu\'ees d'esp\'erance $\mu$ finie et d'\'ecart-type $\sigma$ fini non nul, alors en notant $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i}$ on a: \[ \sqrt n \frac{{\bar X - \mu }} {\sigma }\mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} \mathcal{N}(0,1) \]$
Pierre-Michel Danton

Famille Exponentielle

$\paragraph{} Toutes les familles de lois dont la densit\'e peut s'\'ecrire sous la forme: \[ f_\theta (x) = \exp \left[ {c(\theta ) \cdot T(x) + d(\theta ) + S(x)} \right]\mathbb{I}_{x \in A} \] o\`u l'ensemble $A$ est ind\'ependant de $\theta$ sont dites de famille exponentielle.\\ On d\'emontre que $T$ est une statistique exhaustive du mod\`ele.$

Pierre-Michel Danton

Loi faible des grands nombres

$\paragraph{}Si $X_1,\dots,X_n$ sont des variables al\'eatoires ind\'ependantes indentiquement distribu\'ees et int\'egrables, alors pour $n$ tendant vers $+\infty$ on a \[ \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i } \rightarrow \mathbb{E}(X_1 )\;\;p.s. \]$

Covariance

$\paragraph{} Pour $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires, sous r\'eserve d'existence :\[ \textrm{cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}(X))(Y-\mathbb{E}(Y))] \]$

Convergence en loi

$\paragraph{Convergence en loi:} Une suite de variables al\'eatoires $X_n$ converge en loi vers $X$ si pour toute fonction $f$ continue et born\'ee on a $\mathbb{E}[f(X_n)]\to\mathbb{E}(f(X)]$. On note souvent $X_n \mathop{\longrightarrow }\limits^\mathcal{L} X $. Une d\'efinition \'equivalente est $\phi_{X_n}\to\phi_X$, o\`u $\phi$ d\'esigne la fonction caract\'eristique (th\'eor\`eme de L\'evy).$

Convergence en probabilité

$\textnormal{Une suite de variables al\'eatoires $X_n$ converge en probabilit\'e vers $X$ }\\ si:\\ $$\forall \epsilon > 0\;,\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \mathbb{P}\left( {\left| {X_n - X} \right| > \epsilon } \right) = 0 $$$

Convergence presque sûre

$\paragraph{Convergence presque-s\^ure:} Une suite de variables al\'atoires $X_n$ d\'efinies sur un espace probabilis\'e $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ converge presque s\^urement vers $X$ si: \[ \mathbb{P}\left( {\left\{ {\omega \in \Omega |\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } X_n (\omega ) = X(\omega )} \right\}} \right) = 1 \]$

Moment d'une variable aléatoire

$\textnormal{ Soit $X$ une variable al\'eatoire. On appelle \textit{moments d'ordre k} de $X$, }$E\left[X^k\right]$ les expressions d\'efinies (si elles existent) par:\\\\ \textit{1. Cas discret}: $$E\left[X^k\right]=\sum_{i}{i^k P(X=i)}.$$\\ \textit{2. Cas continu}: $$E\left[X^k\right]=\int_{- \infty}^{ + \infty } { x^k \:dF_{X}(x)}=\int_{- \infty}^{ + \infty } { x^k f_{X}(x)\:dx}.$$\\ \textit{3. Esp\'erence math\'ematique}:\\ Si $E\left[|X|\right] < \infty $, on dit que la variable $X$ est int\'egrable et son moment d'ordre 1 est appel\'e l'\textbf{esp\'erance math\'ematique de $X$}.\\\\$

Densité de probabilité

$\\ \textnormal{Soit }$F_{X}$ la fonction de r\'epartition de la loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire continue $X$. S'il existe une fonction $f_{X}$ positive, int\'egrable telle que $$\forall x \in \mathbf{R}, \quad F_{X}(x)= \int_{- \infty}^{ x } {f_{X}(t)\:dt},$$\\ $f_{X}$ s'appelle la densit\'e de probabilit\'e de la loi de $X$;\\ $f_{X}$ v\'erifie alors,$\int_{- \infty}^{ + \infty } {f_{X}(x)\:dx}=1$.A}$, $\textit{P}$)$\rightarrow$ ($\Omega_{X}$,$\textsl{A}_{X}$) une variable al\'eatoire continue avec $\Omega_{X}= \textit{I}\subseteq \mathbf{R} $.\\$F_{X}$ la fonction de r\'epartition de la loi de $X$, est d\'efinie par: $$F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(X \in ] -\infty,x])$$$

Fonction de répartition

$\textnormal{1. Cas discret}\\ Soit $X$:($\Omega$,$\textsl{A}$, $\textit{P}$)$\rightarrow$ ($\Omega_{X}$,$\textsl{A}_{X}$) une variable al\'eatoire discr\`ete avec $\Omega_{X}=\left\{x_{i}:i\in \textit{I}\right\}$.\\$F_{X}$ la fonction de r\'epartition de la loi de $X$, est d\'efinie par: $$F_{X}(x)=\sum_{x_{i}\leq x}P(X=x_{i})$$\\\\ \textnormal{\quad 2. Cas continu}\\ Soit $X$:($\Omega$,$\textsl{A}$, $\textit{P}$)$\rightarrow$ ($\Omega_{X}$,$\textsl{A}_{X}$) une variable al\'eatoire continue avec $\Omega_{X}= \textit{I}\subseteq \mathbf{R} $.\\$F_{X}$ la fonction de r\'epartition de la loi de $X$, est d\'efinie par: $$F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(X \in ] -\infty,x])$$$

Loi de probabilité 3/3 (cas continu)

$\textit{2. Loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire continue}\\ \textnormal{Notons }$\Omega_{2}=X(\Omega_{1})=I\subseteq \mathbf{R}. $\\ La loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire continue $X$ est d\'et\'ermin\'ee par $$\forall A \subset I p_{A}=P(X\in A).$$\\\$

Loi de probabilité 2/3 (cas discret)

$\textit{1. Loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire discr\`ete }\\ \textnormal{Notons }$\Omega_{2}=X(\Omega_{1})=\left\{x_{i}:i\in \textit{I}\right\}$.\\ \textnormal{La loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire discr\`ete $X$ est d\'et\'ermin\'ee par }$$\forall i \in \textit{I} \quad p_{i}=P(X=x_{i}).$$\\ \textnormal{On a donc }$\sum_{i \in \textit{I}}p_{i}=1$$

Loi de probabilité 1/3

$\textnormal{ Soit }($\Omega_{1}$,$\textsl{A}_{1}$, \textit{P}) un espace probabilis\'e, soit ($\Omega_{2}$,$\textsl{A}_{2}$) un espace mesurable et $X$ une variable al\'eatoire \`a valeur dans ($\Omega_{2}$,$\textsl{A}_{2}$). On appelle loi de probabilit\'e de $X$, la probabilit\'e sur ($\Omega_{2}$,$\textsl{A}_{2}$) image de \textit{P} par $X$.\\ \textnormal{C'est la probabilit\'e not\'ee }$P_{X}(A)=P(X\in A) \quad \forall A \in \textsl{A}_{2}$\\\\$

Variable aléatoire

$\textnormal{Soit }($\Omega_{1}$,$\textsl{A}_{1}$) et ($\Omega_{2}$,$\textsl{A}_{2}$) deux espaces mesurables et $X$ une application de ($\Omega_{1}$,$\textsl{A}_{1}$) dans ($\Omega_{2}$,$\textsl{A}_{2}$). L'application $X$ est une variable al\'eatoire si : $$\forall \textit{A} \in \textsl{A}_{2} \quad X^{-1}(\textit{A}) \in \textit{A}_{1} $$\ o\`u $X^{-1}(\textit{A})=\left\{\omega \in \Omega_{1}: X(\omega) \in \textit{A}\right\}$\\\\$

Espérance mathématique

$\textbf{Esp\'erence math\'ematique}\\ \textnormal{Si }$E\left[|X|\right] < \infty $, on dit que la variable $X$ est int\'egrable et son moment d'ordre 1 est appel\'e l'\textbf{esp\'erance math\'ematique de $X$}.\\ \textit{Propri\'et\'e fondamentale}:\\ \textnormal{Soit $X$ une variable al\'eatoire v\'erifiant} $E\left[X\right] < \infty $. Pour , $a \in \mathbf{R}$ et $b \in \mathbf{R}$, on a: $$E\left[aX+b\right]=aE\left[X\right]+E\left[b\right]$$$

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